Ֆունկցիան մաթեմատիկայում, երկու բազմությունների տարրերի միջև համապատասխանության կանոն է, ըստ որի առաջինի յուրաքանչյուր տարր համապատասխանում է երկրորդ բազմության մեկ և միայն մեկ տարրին։

Ֆունկցիայի մաթեմատիկական հասկացությունն արտահայտում է ինտուիտիվ գաղափար այն մասին, թե ինչպես է մի մեծությունն ամբողջությամբ որոշում մեկ այլ մեծության արժեքը։ Այսպիսով  փոփոխականի արժեքը եզակիորեն որոշում է   արտահայտության արժեքը, իսկ ամսվա արժեքը որոշում է դրան հաջորդող ամսվա արժեքը։

Նմանապես, կանխորոշված ​​ալգորիթմը, հաշվի առնելով մուտքային տվյալների արժեքը, որոշում է ելքային տվյալների արժեքը։

Հաճախ «ֆունկցիա» տերմինը հասկացվում է որպես թվային ֆունկցիա, այսինքն՝ ֆունկցիա, որը մի թվին համապատասխանեցնում է մյուսին։ Այս ֆունկցիաները հարմար է ներկայացնել գրաֆիկների տեսքով։

Եռանկյունաչափության պատմություն

«Եռանկյունաչափություն» տերմինը որպես մաթեմատիկական դիսցիպլին ներմուծել է գերմանացի մաթեմատիկոս Պիտիսկուսը իր 1595 թվականին հրապարակված։ 17-րդ դարի վերջում ի հայտ եկան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակակից անվանումները։ «Սինուս» եզրույթն առաջին անգամ մոտավորապես 1145 թվականին օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկոս ու արաբագետ Ռոբերտ Չեստերսկին։ Ռեգիոմոնտանն իր աշխատությունում կոսինուսն անվանել է «լրացման սինուս» նրա հետևորդները 17-րդ դարում այդ անվանումը կրճատեցին ու դարձրին co-sinus (Էդմունդ Հունթեր), իսկ ավելի ուշ՝ cos (Ուիլիամ Օտրեդ)։ Տանգենսի ու սեկանսի անվանումները 1583 թվականին առաջարկել է դանիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Ֆինկը, իսկ վերոնշյալ Էդմունդ Գունտերը ներմուծել է կոտանգենսի ու կոսեկանսի անվանումները։ «Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ» եզրույթն առաջին անգամ օգտագործել է Գեորդ Սիմոն Կլյուգելը իր «Անալիտիկ եռանկյունաչափություն» աշխատությունում։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը

Միավոր շրջանագծի վրա վերցնենք B(x;y) կետը և դիտարկենք OBD ուղղանկյուն եռանկյունը: 

 Երկրաչափության դասընթացից գիտենք, որ 

sinα=BD/OB=y/1; cosα=OD/OB=x/1

tgα=BD/OD=y/x; ctgα=OD/BD=x/y

Այսպիսով՝ B(cosα;sinα) 1. sinα կոչվում է B կետի y կոորդինատը՝  օրդինատը:

2. cosα կոչվում է B կետի x կոորդինատը՝ աբսցիսը:

3. tgα կոչվում է B կետի օրդինատի հարաբերությունը աբսցիսին:

4. ctgα կոչվում է B կետի աբսցիսի հարաբերությունը օրդինատին

Սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը կոչվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ: Միավոր շրջանագծի կամայական B(x;y) կետի կոորդինատների համար տեղի ունեն հետևյալ անհավասարությունները՝ −1≤x≤1; −1≤y≤1: 

Քանի որ միավոր շրջանագծի վրայով դրական կամ բացասական ուղղություններով լրիվ պտույտներ կատարելիս կետի դիրքը չի փոխվում, ապա՝ 

sin(α±2π)=sinα; cos(α±2π)=cosα

tg(α±2π)=tgα; ctg(α±2π)=ctgα

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, էլեմենտար ֆունկցիաներ, որոնք պատմականորեն ծագել են ուղղանկյուն եռանկյան ուսումնասիրման ժամանակ և արտահայտում են եռանկյան էջերի կախվածությունը սուր անկյուններից ներքնաձիգով: Այս ֆունկցիաները լայն տարածում են գտել գիտության ամենատարբեր բնագավառներում: Դրա հետևանքով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշման տիրույթը մեծացավ, այժմ արգումենտը կարող է լինել իրական թիվ: Գիտությունը, որն ուսումնասիրում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, կոչվում է եռանկյունաչափություն: Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները նշանակվում են.  սինուս sin α  կոսինուս cos α  տանգես tg α  կոտանգես ctg α :  Երկրաչափական որոշումը  Սինուս կոչվում է հետևյալ հարաբերությունը . sinα=y/R  Կոսինուս կոչվում հետևյալ հարաբերությունը . cosα=x/R  Տանգեսը որոշվում է. tgα=sinα/cosα  Կոտանգեսը որոշվում է. ctgα=cosα/sinα

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակ

Աղբյուրներ ՝ 1, 2

Պի թիվ կամ , մաթեմատիկական հաստատուն, որը ցույց է տալիս շրջանագծիերկարության հարաբերությունը տրամագծին։ Նշանակվում է հունական այբուբենի  (պի) տառով։ Հին անվանումը՝ Լուդոլֆյան թիվ։

Այս ոչ պաշտոնական տոնը հնարել է 1987թ. ֆիզիկ Լարի Շոուն Սան Ֆրանցիսկոն, ով նկատեց, որ ամսաթվի ամերիկյան գրագրության ընթացքում (ամսաթիվ/օր) 14 մարտի ամսաթիվը` 3/14 և ժամը 1:59:26 համընկնում են π թվի սկզբում գտնվող թվերի հետ. π=3,1415926….

• Մարտի 14-ին նշվում է պի թվի օրը։
•  թվի հետ է կապված նաև հուլիսի 22-ը՝ «Մոտավոր  թվի օրը», այն բանի շնորհիվ, որ ամսաթվերի եվրոպական ձևաչափով այդ օրը գրվում է 22/7, իսկ այդ տեսքով գրված կոտորակը համապատասխանում է -ի մոտավոր արժեքին։
• Պի թվի առաջին տասը նիշերը հիշելու համար կա հայերեն բանաստեղծություն (ըստ բառերում տառերի քանակի).3.141592653 

Տրանսցենդություն և իռացիոնալություն

• Պի-ն իռացիոնալ թիվ է, այսինքն՝ նրա արժեքը հնարավոր չէ ներկայացնել m/n կոտորակի տեսքով, որտեղ m-ը և n-ը ամբողջ թվեր են։ Հետևաբար, նրա տասական ներկայացումը երբեք չի վերջանում և չի հանդիսանում պարբերական։  թվի իռացիոնալությունը առաջին անգամ ապացուցվել է Իոհան Լամբերտի կողմից 1761 թվականին  թվի տրոհումը անընդհատ կոտորակի։ 1794 թվականին Լեժանդրը բերեց  և  թվերի իռացիոնալության առավել խիստ ապացույց։
• Պի-ն տրանսցենդենտ թիվ է, այսինքն այն չի կարող լինել որևէ ամբողջ գործակիցներով բազմանդամի արմատ։  թվի տրանսցենդենտությունը 1882 թվականին ապացուցվել է քյոնինգսբերգյան պրոֆեսորի կողմից, իսկ հետագայում մյունխենյան համալսարանից Ֆերդինանդ ֆոն Լինդեմանի կողմից։ Ապացույցը պարզեցրեց Ֆելիքս Կլեյնը 1894թվականին։
• Քանի որ էվկլիդյան երկրաչափությունումշրջանի մակերեսը և շրջանագծիերկարությունը ֆունկցիա են հանդիսանում  թվից, ապա  թվի տրանսցենդենտության ապացույցը վերջ դրեց շրջանի քառակուսացուման վեճին, որը տևեց ավելի քան 2, 5 հազար տարի։
• 1934 թվականին Գելֆանդը ապացուցեց  թվի տրանսցենդենտությունը։ 1996թվականին Յուրի Նեստերենկոնապացուցեց, որ ցանկացած բնական թվի համար  և  թվերը հանրահաշվորեն անկախ են, որից մասնավորապես հետևում է և  թվերի տրանսցենդենտությունը։
• -ն հանդիսանում է պարբերությունների օղակի տարր (հետևաբար, հաշվելի և թվաբանական թիվ)։ Սակայն անհայտ է, արդյոք -ը պատկանում է պարբերությունների օղակին։

Որոշ հետաքրքիր փաստեր

Այնուամենայնիվ, արժեքը հաշվարկելը նրա պատմության միայն փոքր մասն է: Այս համարն ունի այն հատկությունները, որոնք այս կայունությունը դարձնում են այնքան հետաքրքրասեր:

Թերևս ամենամեծ խնդիրը, որի հետ կապված է, շրջանագծի քառակուսի ճանաչման հայտնի խնդիրը, կողմնացույցի և իշխանի օգնությամբ կառուցելու խնդիրն է, որի տարածքը հավասար է այս շրջանի տարածքին: Շրջանակի քառապատկությունը տառապում էր մաթեմատիկոսների սերունդներից քսան չորս դար, մինչև ֆոն Լինդեմնը ապացուցեց, որ այն տրանսցենդենտալ թիվ է (դա ռացիոնալ գործակիցներով ցանկացած բազմամոլային հավասարման լուծում չէ), և, հետևաբար, անհնար է ըմբռնել անհամեստությունը: Մինչև 1761 թվականը չի ապացուցվել, որ համարն իռացիոնալ է, այսինքն ՝ երկու դրական ամբողջ թվեր չկան և այդպիսին: Տրանսցենդենցիան ապացուցված չէր մինչև 1882 թվականը, բայց առայժմ հայտնի չէ ՝ համարները կամ (սա ևս մեկ իռացիոնալ տրանսցենդենտալ թիվ է) իռացիոնալ են: Շատ հարաբերություններ են հայտնվում, որոնք կապված չեն շրջանակների հետ: Սա նորմալ գործառույթի նորմալացման գործակիցի մի մասն է, որն ակնհայտորեն ամենատարածվածն է վիճակագրության մեջ: Ինչպես նշվեց ավելի վաղ, մի շարք հայտնվում է որպես շատ շարքերի գումար և հավասար է անսահման արտադրանքներին, դա կարևոր է բարդ թվերի ուսումնասիրության մեջ: Ֆիզիկայում այն \u200b\u200bկարելի է գտնել (կախված օգտագործվող միավորների համակարգից) տիեզերաբանական կայունության մեջ (Ալբերտ Էյնշտեյնի ամենամեծ սխալը) կամ կայուն մագնիսական դաշտի կայուն: Baseանկացած բազային ունեցող թվային համակարգում (տասնորդական, երկուական …) թվերը անցնում են բոլոր թեստերը պատահականության համար, ոչ մի կարգ կամ հաջորդականություն չի նկատվում: Riemann zeta ֆունկցիան սերտորեն կապված է մի շարք պրիմիերի հետ: Այս թիվը երկար պատմություն ունի և, հավանաբար, դեռևս պահպանում է բազմաթիվ անակնկալներ: 

Աղբյուրներ՝ 1, 2, 3

190, 191

195(ա, դ)

196(դ)

152.

ա)α=22,5º=45º/2

sinα=sin45º/2=√1-cos45º/2=√1-√2/2/2=√2-√2/4=√2-√2/2

cosα=cos45º/2=√1-cos45º/2-√1+√2/2/2=√2+√2/2/2=√2+√2/4=√2+√2/2

tgα=tg45/2=√1-cos45º/2=√1-√2/2/1+√2/2=√2-√2/2/2+√2/2=√2-√2/2+√2=√(2-√2)²/(2+√2)(2-√2)=2-√2/√4-2=(2-√2)*√2/√2*√2=2(√2-1)/2=√2-1

132.                                                                                                                                                                                     ա) (sinπ/15+cosπ/10)²+(sinπ/15+cosπ/10)²=1                                                                                                                      cos²π/9+cos² 2π/9-2 π/9cos 2π/9+2 sin π/9sin 2π/9=1+1-2(cosπ/9cos2π/9-sinπ/9-sin2π/9=2-2cos(π/9+2π/9)=2-2=2-1=1

126.                                                                                                                                                                                         ա)cos(π/4-α)=cosπ/4cosα+sinπ/4sinα=√2/2cosα+√2/2sinα=√2/2(cosα+sinα)                                                             բ)cos(π/4+α)=cosπ/4cosα-sinπ/4sinα=√2/2cosα-√2/2(cosα-sinα)                                                                                   գ)sin(π/4-α)=sinπ/4cosα-cosπ/4

127.                                                                                                                                                                                   ա)   α=15º                                                                                                                                                                                  sin15º=sin(45º-30º)=sin45ºcos30º-cos45ºsin30º=√2/2*√3/2-√2/2*1/2=√6-√2/4                                                     cos15º=cos(45º-30º)=cos45ºcos30º+sin45ºsin30º=√2/2*√2/2+√3/2*1/2=2/4+√3/4=2+√3/4                                     tg15º=tg(45º-30º)=tg45º-tg30º/1+tg45º*tg30º=1-√3/3/1+1*√3/3=3-√3/3=(3-√3)(3-√3)/(3+√3)(3-√3)=9-6√3+3/9-3=12-6√3/6=2-√3                                                                                                                                                 ctg15º=ctg(45º-30º)=ctgα*ctgβ+1/ctgβ-ctgα

• sin(π/2-α)=cosα
• tg(π/2-α)=ctgα
• cos(π/2-α)=sinα
• ctg(α-π)=ctgα
• tg(α-π)=tgα
• cos(3/2π-α)=-sinα
• sin(α-3/2π)=cosα
• cos(π+α)=-cosα

118

• sinα=210°=-1/2
• cosα=210°=-√3/2
• tgα=210°=√3/3
• ctgα=210°=√3
• sinα=5/4π=225°=-√2/2
• cosα=5/4π=225°=-√2/2
• tgα=5/4π=225°=1
• ctgα=5/4π=225°=1
• sinα=4/3π=240°=-√3/2
• cosα=4/3π=240°=-1/2
• tgα=4/3π=240°=√3
• ctgα=4/3π=240°=√3/3

119

• ctg(90°-α)=tgα
• cos(90°+α)=-sinα
• sin(270°-α)=-cosα
• sin(270°+α)=cosα
• tg(α-270°)=-ctgα
• ctg(α-180°)=ctgα

120

• cos(810°+α)=- sinα
• cos(990°-α)=- cosα
• tg(α-450°)=- ctgα
• tg(7π-α)=-tgα

121

• cos²(3π/2-x)=0+sin²(x)=sin²(x)
• tg²(π+x)=tg²π+tg²x=tg²x
• cos⁴(π-x)=-cos⁴(x)=cos⁴x

122

ա) sin²(180°-α)+sin²(270°-α)=sin²α+(-cos²α)=sin²α+cos²α=1
բ) sin(90°-α)+cos(180°+α)+tg(270°-α)+ctg(360°+α)=sin(90°-α)+cos(180°+α)-ctg α+ctg α=0
գ) sin(π+α)cos(π/2+α)-cos(2π+α)sin(3π/2-α)=-sin α×(-sin α)-cos α×(-cos α)=sin²α+cos²α=1
դ) tg α tg(π/2+α)tg(π+α)tg(3π/2+α)=tg α×(-ctg α)×tg α tg(3π/2+α)=-tgα × ctgα × tgα × (-ctg α)=tg α×1/tg α×tg α×1/tg α=1

• sin150°=sin(180°-30°)=sin30°=1/2 
• sin150°=sin(90°+60°)=cos60°=1/2
• cos150°=cos(180°-30°)=-cos30°=√3/2
• cos150^°=cos(90^°+60°)=-sin60°=√3/2
• tg150°=tg(180°-30°)=-tg30°=√3/3
• tg150°=tg(90°+60°)=-ctg60°=√3/3
• ctg150°=ctg(180°-30°)=-ctg30°=-√3
• ctg150°=ctg(90°+60°)=tg60°=-√3
• tg(π/2+135)=ctg135°=ctg(180°-45°)=ctg45°=1
• tg(π/2-5π/2)=tg90°